गणित के सभी सूत्र क्लास 10 (Math Formula Class 10), चैप्टर वाइज फार्मूला

आज हम इस आर्टिकल में दशवीं क्लास के गणित (Math Formula Class 10) के सभी सूत्र प्रदान कर रहें हैं । यह गणित के सभी सूत्र (फॉर्मूला) को Quick Revision करने में आपकी मदद करेगा ।

वास्तविक संख्याएँ

1. दो धनात्मक पूर्णांक a और b दिए रहने पर, हम a = bq + r, 0≤r<b को संतुष्ट करने वाली पूर्ण संख्याएँ q और r ज्ञात कर सकते हैं ।

2. यदि P कोई अभाज्य संख्या है और P, a² को विभाजित करता है तो P, a को भी विभाजित करेगा । जहाँ a एक धनात्मक संख्या है ।

3. उपपत्ति की √2, √3 इत्यादि अपरिमेय संख्याएँ हैं ।

4. यदि x=p/q एक ऐसी परिमेय संख्या है की q का अभाज्य गुणनखंड 2ⁿ5^m के रूप का है, जहाँ n,m ऋणात्मक पूर्णांक है तो x का दशमलव प्रसार सांत होगा ।

 

बहुपद

1. घातों 1, 2 और 3 के बहुपद क्रमशः रैखिक बहुपद एवं त्रिघात बहुपद कहलाते हैं ।

2. एक द्विघात बहुपद ax²+bx+c, जहाँ a, b, c वास्तविक संख्याएँ हैं और a=0 है, के रूप का होता है ।

3. यदि द्विघात बहुपद ax²+bx+c के शून्यक α और β हों तो

α + β = -b/a,

α.β = c/a होगा ।

 

4. यदि α, β, γ त्रिघात बहुपद ax³ + bx² + cx + d = 0 के शून्यक हों तो

α + β + γ = -b/a           αβ + βγ + γα = c/a और                   αβγ = -d/a

 

दो चर वाले रैखिक समीकरण

दो चर वाले रैखिक समीकरण में Math Formula Class 10 से 3-4 ऑब्जेक्टिव प्रश्न बहुत पूछे जाते हैं । आजकल प्रतियोगिता परीक्षा में भी इससे सवाल पूछे जाते हैं ।

1. यदि दिए गए रैखिक समीकरण a_¹x + b_¹y + c_¹ = 0 और a_²x + b_²y + c_² = 0 एक रैखिक समीकरण युग्म को प्रदर्शित करते हैं, तो निम्न स्थितियां उत्पन्न हो सकती है :

a1/a2 ≠ b1/b2 इस स्थिति में, रैखिक समीकरण युग्म संगत होता है । a1/a2 = b1/b2≠ c1/c2 इस स्थिति में, रैखिक समीकरण युग्म असंगत होता है । a1/a2 = b1/b2 = c1/c2 इस स्थिति में, रैखिक समीकरण युग्म आश्रीत (संगत) होता है ।

नोट : MCQ में इस तरह से भी प्रश्न पूछता है :

• ऊपर के तीनों में से कोई एक समीकरण की स्थिति में होने पर समीकरण हो सकते हैं ।
• प्रतिछेदी है, समांतर है, संपाति है, या
  
• अद्वितीय हल होगा, दो हल होगा या अनंत हल होगा । तो उस स्थिति में आपको निम्न बातें ध्यान देनी है :

याद रखें संगत =  प्रतिच्छेदी (एक हल) या अद्वितीय हल असंगत = समांतर (कोई हल नहीं) आश्रित (संगत) = संपाति (अनंततः अनेक हल )

 

द्विघात समीकरण

1. द्विघात बहुपद का व्यापक रूप ax² + bx + c = 0 है, जहाँ a ≠ 0 और इनके

      (¡) मुल = [-b ± √(b²-4ac)] / 2a

      (¡¡) विवेचक (विविक्तकर) D = b² – 4ac

      (¡¡¡) (a) मूल समान होगा यदि D = 0
            (b) मूल वास्तविक होंगे यदि D ≥ 0
            (c) मूल वास्तविक तथा समान होंगे यदि D > 0
            (d) मूल वास्तविक नहीं होंगे यदि D < 0

      (¡∨) यदि मूल α, β हों, तो

              α + β = -b/a

              α.β = c/a

2. यदि ax² + bx + c के मूल α, β हों, तो

            ax² + bx + c = a (x-α)(x-β)

3. ax² + bx + c के गुणनखंड वास्तविक होंगे, यदि b² – 4ac ≥ 0

 

समांतर श्रेणियां

1. एक A.P. का व्यापक रूप a, a + d, a + 2d, a+ 3d ……… है ।

2. प्रथम पद a और सार्व अंतर d वाली A.P. का nवाँ पद, a_n निम्न सूत्र द्वारा प्राप्त होता है :

               a_n = a + (n-1)d

3. किसी A.P. के प्रथम पद n पदों का योग S सूत्र

              S = n/2 [ 2a + (n-1)d] से प्राप्त होता है ।

4. यदि एक परिमिति, A.P. का अंतिम पद (मान लीजिए nवाँ पद) L है, तो इस A.P. के सभी पदों का योग S सूत्र

              S = n/2 ( a + L ) से प्राप्त होता है ।

 

Math Formula Class 10 निर्देशांक ज्यामिति का सूत्र

1. P ( x₁, y₁ ) और Q ( x_1, y₁ ) के बीच की दूरी √[(x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)²]

2. बिंदु P(x, y) की मूल बिंदु से दूरी √(x² + y²) होती है ।

3. उस बिंदु P(x, y) के निर्देशांक जो बिंदुओं A (x₁, y₁) और B (x₂, y₂) को जोड़ने वाले रेखाखंड को m₁ : m₂ के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है जो निम्नलिखित है :

         x = (m₁x₂ + m₂x₁) / (m₁ + m₂),  y = (m₁y₂ + m₂y₁) / (m₁ + m₂)

4. बिंदुओं P(x, y) और Q (x, y) को जोड़ने वाले रेखाखंड PQ के मध्य बिंदु के निर्देशांक x,y हैं :

          = (x₁ + x₂) / 2 , (y₁ + y₂) / 2)

5. बिंदुओं (x₁, y₁), (x₂, y₂) और (x₃, y₃) से बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल

          = 1/2 [ x₁ ( y₂ -y₃) + x₂ (y₃ – y₁) + x₃ (y₁ – y₂) ]

 

त्रिकोणमिति फार्मूला – Formula of Trigonometry :

1. (a) cosecθ = 1/sinθ, sinθ = 1/cosecθ, sinθ.cosecθ = 1
    (b) secθ = 1/cosθ, cosθ = 1/secθ, cosθ.secθ = 1
    (c) cotθ = 1/tanθ, tanθ = 1/cotθ, cotθ.tanθ = 1

2. (a) sin²θ + cos²θ = 1,

• • sin²θ = 1 – cos²θ,
  • cos²θ = 1- sin²θ

    (b) 1 + tan²θ = sec²θ,

• • tan²θ = sec²θ – 1,
  • 1 = sec²θ – tan²θ

     (c) 1 + cot²θ = cosec²θ,

• • cot²θ = cosec²θ – 1
  • 1 = cosec²θ – cot²θ

3. (a) sin (90^o – θ) = cosθ, cos (90^o – θ) = sinθ
    (b) tan (90^o – θ) = cotθ, cot (90^o – θ) = tanθ
    (c) cosec (90^o – θ) = secθ, sec (90^o – θ) = cosecθ

4. (a) sinθ = p/h, cosecθ = h/p
    (b) tanθ = p/b, cotθ = b/p
    (c) cosθ = b/h, secθ = h/b

त्रिकोणमिति की टेबल – Trigonometric Table :

θ	0°	30°	45°	60°	90°
sin θ	0	1/2	1/√2	√3/2	1
cos θ	1	√3/2	1/√2	1/2	0
tan θ	0	1/√3	1	√3	∞
cosec θ	∞	2	√2	2/√3	1
sec θ	1	2/√3	√2	2	∞
cot θ	∞	√3	1	1/√3	0

 

यहाँ से पढ़ें :

• पाइथागोरस थ्योरम फार्मूला (Pythagorean Theorem)

 

अलजेब्रा फार्मूला – Algebra Formula

नियम-1 :

(a+b)2 = a2  + b2 + 2ab,  ⇒   a2 + b2 = (a+b)2 – 2ab (a-b)2 = a2 + b2 – 2ab,   ⇒  a2 + b2 = (a-b)2 + 2ab

 

नियम-2 :

(a+b)2 + (a-b)2 = 2(a2+b2)

 

नियम-3 :

(a+b)2 – (a-b)2 = 4ab या,    (a+b)2 = (a-b)2 + 4ab या,    (a-b)2 = (a+b)2 – 4ab

 

नियम-4 :

(a2-b2) = (a+b) (a-b)

 

नियम-5 :

(a+b)3 = a3+b3 + 3ab(a+b) या,     a3 + b3 = (a+b)3 – 3ab(a+b)

 

नियम-6 :

(a-b)3 = a3 – b3 – 3ab(a-b) या,     a3 – b3 = (a-b)3 + 3ab(a-b)

 

नियम-7 :

a3+b3 = (a+b) (a2+b2-ab)

 

नियम-8 :

a3-b3 = (a-b) (a2+b2+ab)

 

नियम-9 :

a3+b3+c3-3abc = (a+b+c) (a2+b2+c2-ab-bc-ca) a3+b3+c3 = 3abc यदि a+b+c = 0 या a=b=c

 

घातांक का नियम

am x an = am+n am ÷ an = am-n (a/b)m = am/bm (am)n = amn a1 = a a0 = 1 a(m/n) =n√am (ab)m = am x bm a-m = 1/am am = 1/a-m

 

वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल

गणित के इस भाग से परीक्षा में एक प्रश्न पूछा जाता है । इससे प्रतियोगिता परीक्षा में भी Math Formula Class 10 के आधार पर एक-दो प्रश्न आता है ।

1. त्रिज्या r वाले वृत्त की परिधि = 2πr

2. त्रिज्या r वाले वृत्त का क्षेत्रफल = πr²

3. त्रिज्या r वाले वृत्त के एक त्रिज्यखंड, जिसका कोण अंशों में θ है, के संगत चाप की होती है ।

         लम्बाई = ( θ/360^o)x 2πr

4. त्रिज्या r वाले वृत्त के एक त्रिज्यखंड, जिसका कोण अंशों में Q है, का

         क्षेत्रफल = (Q/360^o) x πr²

5. एक वृत्तखंड का क्षेत्रफल = संगत त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल – संगत त्रिभुज का क्षेत्रफल

 

पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन

घन का फार्मूला (Cube Formula)

1. (a) घन का आयतन (V) = L³ ( यहाँ L = घन की भुजा है )
    (b) घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल (S) = 6L²
    (c) घन का विकर्ण = √3L

घनाभ का सूत्र (Cuboid Formula)

2. (a) घनाभ का आयतन (Volume of Cuboid) (V) = L × b × h
(यहाँ L = लम्बाई, b = चौड़ाई, h = ऊंचाई)
    (b) घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल (S) = 2(Lb + bh + hL)
    (c) घनाभ का विकर्ण (Diagonal of Cuboid), D = √(L² + b² + h²)
    (d) चार दीवारों का क्षेत्रफल = 2h (L + b)

बेलन का सूत्र (Cylinder Formula)

3  यदि बेलन की त्रिज्या r तथा ऊंचाई h हो तो :
    (a) बेलन के आधार का क्षेत्रफल = πr²
    (b) बेलन का आयतन (V) = πr²h
    (c) बेलन का वक्रपृष्ठ का क्षेत्रफल = 2πrh
    (d) बेलन का सम्पूर्ण पृष्ठ का क्षेत्रफल = 2πr (h + r)

गोले का सूत्र (Sphere Formula)

4.  यदि गोले की त्रिज्या r हो तो :
    (a) गोले का आयतन (Volume of Sphere) = (4/3)x πr³
    (b) गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πr²
    (c) गोलार्द्ध (अर्धगोला) का आयतन = (2/3) x πr³
    (d) गोलार्द्ध (अर्धगोला) का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr²
    (e) गोलार्द्ध (अर्धगोला) का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr² + πr² या 3πr²

शंकु का सूत्र (Cone Formula)

5. यदि शंकु के आधार का त्रिज्या (r), ऊंचाई (h) और तिर्यक ऊंचाई (L) हो तो :
    (a) शंकु के आधार का क्षेत्रफल = πr²
    (b) शंकु का आयतन (Volume of Cone) = (1/3) x πr²h
    (c) शंकु का वक्रपृष्ठ क्षेत्रफल = πrι
    (d) शंकु का सम्पूर्ण पृष्ठ का क्षेत्रफल (Total Surface Aera of Cone) = πr (L + r)
    (e) शंकु का तिर्यक ऊंचाई (L) = √(h² + r²) 

शंकु के छिन्नक से संबंध सूत्र निम्नलिखित हैं :

    (¡) यहाँ शंकु के छिन्नक का आयतन = (1/3)πh (r₁² + r₂² + r₁r₂)
    (¡¡) शंकु के छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = πL (r1 + r2)
           जहाँ   L = √[h² + (r₁ – r₂)²] है ।
    (¡¡¡) शंकु के छिन्नक का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल

            = πL (r₁ + r₂) + π (r₁² + r₂²)

जहाँ h = छिन्नक की ऊंचाई, L = छिन्नक की तिर्यक ऊंचाई तथा r₁ और r₂ छिन्नक के दोनों वृत्तिय सिरों की त्रिज्याएँ हैं ।

 

सांख्यिकी

1. वर्गीकृत आंकड़ों का माध्य निम्नलिखित प्रकार ज्ञात किया जा सकता है ।

      (¡) प्रत्यक्ष विधि  x = ∑f₁x₁/∑f₁

     (¡¡) कल्पित मध्य विधि  x = a + (∑f₁d₁/∑f₁)

     (¡¡¡) पग-विचलन विधि  x = a + (∑f₁u₁/∑f₁)× h

2. वर्गीकृत आंकड़ों का बहुलक = L + {(f₁-f_o)/(2f₁-f_o-f₂)}× h

3. वर्गीकृत आंकड़ों का माध्यक = L + [ {(n/2)-c.f}/f]× h

 

निष्कर्ष

यह फार्मूला प्रतियोगिता परीक्षा में भी बहुत काम आएगा । गणित के सूत्र को याद नहीं किया जाता है इसे अभ्यास किया जाता है । लेकिन Quick Revision के लिए गणित के सभी सूत्र (Math Formula Class 10) का पूरा फार्मूला एक जगह उपलब्ध कराये हैं ताकि परीक्षा से पहले भी देख करके याद कर सकें ।

गणित के फार्मूला को आप जितना बार देखेंगे उतना लम्बे समय तक आपको याद रहेगा । आशा है यह सूत्र आपके लिए मददगार साबित होगा धन्यवाद ।